【９日目】『イプシロン・デルタ論法完全攻略』を読んでいく

最近は、朝の通勤時間に電車の中でこの本を読むのが日課になっていた。もちろん電車の中なので集中はできない。ざっと復習と予習をするのみだ。しかし、今日は本を忘れてきてしまい、手持ち無沙汰になってしまった。

帰宅後、気を取り直して進めていく。今日は「2.1.3 数列の極限の定義と同値な命題」から「2.1.5 数列の極限の否定命題」まで。

まずは自分で解いてみる。書くには書けたので、解答を見ると筋はあっている。しかし、どうも明快でない。言い回しとして「 ${ N(\varepsilon / k) \in \mathbb{N} }$ が決まって」というのを覚えておこう。

ようやく ${ | a_n - \alpha | \lt k \varepsilon }$ と ${|a_n - \alpha| \lt \varepsilon}$ の違いが分かって嬉しい。長年、わかったふりをして通り過ぎていた所だ。

数列の極限の定義には２つの不等号がでてくる。それぞれ ${\leq}$ か ${\lt}$ のどちらかだ。ところが、どの組み合わせをとっても数列の極限の定義としては同値になる。それを示す問題。

この本では、等号無し、等号つき、の順が採用されている。他の本ではどうなんだろうか。この本のどこかで理由も説明されていたような。後で探してみよう。

${(2.7) \iff (2.8)}$ は当たり前すぎてなんか変な感じ。いや当たり前なんだけど。

部分列の定義。また１０回書いた。

収束する数列の任意の部分列は、元の数列と同じ極限に収束する、という例題。

部分列の添字 ${ n_k }$ がややこしい。部分列は ${k}$ でナンバリングされていることに注意。

ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理という有名な定理。証明がなくてホッとした。有界だが収束しない数列でも、収束する部分列がある、というのがこの定理の面白いところなんだろうか。

よく分かる例。

数列の極限の否定命題。よくわからん！解答の論理が追えず。

今日はこれにて終了。