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【9日目】『イプシロン・デルタ論法 完全攻略』を読んでいく

最近は、朝の通勤時間に電車の中でこの本を読むのが日課になっていた。もちろん電車の中なので集中はできない。ざっと復習と予習をするのみだ。しかし、今日は本を忘れてきてしまい、手持ち無沙汰になってしまった。

帰宅後、気を取り直して進めていく。今日は「2.1.3 数列の極限の定義と同値な命題」から「2.1.5 数列の極限の否定命題」まで。

例2.6

まずは自分で解いてみる。書くには書けたので、解答を見ると筋はあっている。しかし、どうも明快でない。言い回しとして「{ N(\varepsilon / k) \in \mathbb{N} }が決まって」というのを覚えておこう。

ようやく{ | a_n - \alpha | \lt k \varepsilon }{|a_n - \alpha| \lt \varepsilon}の違いが分かって嬉しい。長年、わかったふりをして通り過ぎていた所だ。

例2.7

数列の極限の定義には2つの不等号がでてくる。それぞれ{\leq}{\lt}のどちらかだ。ところが、どの組み合わせをとっても数列の極限の定義としては同値になる。それを示す問題。

この本では、等号無し、等号つき、の順が採用されている。他の本ではどうなんだろうか。この本のどこかで理由も説明されていたような。後で探してみよう。

{(2.7) \iff (2.8)}は当たり前すぎてなんか変な感じ。いや当たり前なんだけど。

定義2.3

部分列の定義。また10回書いた。

例2.8

収束する数列の任意の部分列は、元の数列と同じ極限に収束する、という例題。

部分列の添字{ n_k }がややこしい。部分列は{k}でナンバリングされていることに注意。

定理2.1

ボルツァーノワイエルシュトラスの定理という有名な定理。証明がなくてホッとした。 有界だが収束しない数列でも、収束する部分列がある、というのがこの定理の面白いところなんだろうか。

例2.9

よく分かる例。

例2.6

数列の極限の否定命題。よくわからん!解答の論理が追えず。

今日はこれにて終了。