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【2日目】『イプシロン・デルタ論法 完全攻略』を読んでいく

今日は2章の数列の極限から始めた。p.15からp.24の問2.2まで進んだ。 今日の範囲で、最も大事なのは数列の極限の定義だ。

数列の極限の定義は、下記の5種類が紹介されている。

  • 定義A:高校風の定義
  • 定義B:ちょっと教育的な大学風の定義
  • 定義C:お硬い大学風の定義
  • 定義D:この本における正式な定義(定義2.1)を翻訳したもの
  • 定義2.1:論理記号で表現されたこの本における正式な定義

特徴的だと思ったのは、定義Dで「任意の自然数nに対して」というフレーズがあることだ。こう書かれているものは初めて見た気がする。論理記号で表現する際に、このフレーズがないと表現できないのだろうか。 (他の本を見て確認したところ、表現できないということはなさそうだ。)

「定義をきちんと覚えることが数学上達の一番の早道である」と、p.20のコラムにある。「なかなか覚えられない人は20~30回(2.1)式を書き写すとよい」ともある。サボって10回しか書かなかったけど。忘却曲線を考えると、ある程度時間が立ってからもう一度頭に叩き込むほうが効率が良い(適当)。ということで残りの10回は明日に持ち越すことにする。

定義の後は、具体的な数列が収束する例や簡単な定理のような例題がいくつか。どの例もNのε依存性が意識されている。

例題2.1を解答を見ずに自分で書いてみたが、「これは証明になっているのだろうか…」と思うものしか書けなかった。解答と比較してみると大事なポイントが抜けていて、全く証明と呼べるものでなかった。というのも、この例題は「N(ε)をどのように決めるかが証明のポイント」(p.22)であり、それを証明の中に書かなくてはならない。しかし、僕の解答にはそれが無かったのだ。解答を読んでいくとN(ε)の決め方を明記することが大事なのはよく分かる。構成的証明という言葉が頭に浮かんだ。この例題は、N(ε)の構成することによって命題を証明する問題と言っていいのかな。

ε-N論法自体は抽象的と言えると思う*1けど、それを使った証明は案外具体的なことを考えなくてはいけないと感じた。

例題2.1を参考にしたら、問2.2が解けて嬉しかった。

イプシロン・デルタ論法 完全攻略

イプシロン・デルタ論法 完全攻略

*1:と言いながらも、そうでも無いと思っている。数学の対象はいつだって具体的だし、その表現もこれ以上ない程に具体的だ。抽象的だと勘違いするのは、単に解っていないからからだろう。数学は時に(いつも?)頭がついていかない程論理的だ。それを抽象的と表現するのは間違っている。単に直感的で無いだけだ。