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【11日目】『イプシロン・デルタ論法 完全攻略』

後から考えると当たり前のことだった、というのは勉強していれば良くある事だ。今日もまたそれを体験してしまった。自分の理解の浅さが悲しくなる反面、すっきりした思いもある。これが勉強の楽しいところ。

イプシロン・デルタの証明問題を久々に解いた(演習問題2・1と2・2)。証明はノートに書くようにしている。解いたあと(もしくは、諦めたあと)で本の解答を読んで自分で添削する。自己採点はどうしてもいい加減になりがちで、細かそうに見える言葉遣いまでは目に入らないことが多い。

イプシロン・デルタ論法の典型問題で頻発する「ある{\varepsilon}に対して」というフレーズに対して(大して)注意を払っていなかった。「対して」という言葉は、2つのものに何らかの対応があることを意味する。そのため必ず対をなす2つのものに注意を払わなければならない。それが「対して」ということだ。「対して」を「対をなして」と読み替えると良く分かる。

イプシロン・デルタの場合は、もちろん{\varepsilon}{\delta}が対になっている。イプシロン・エヌ論法(カタカナだと異様に格好悪い)だと、{\varepsilon}{N}だ。うーん、当たり前だ。なんで、こんなことに注意を払えていなかったのだ。

下記の誤植を見つけたから、出版社にメールしておこう。 手持ちのものは『イプシロン・デルタ論法 完全攻略』初版5刷。

  • p.28 演習問題2・1 (1) {n \geq N(\eta)}ではなく{n \geq N_0(\eta)}
  • p.28 演習問題2・1 (2) 上に同じ

【10日目】『イプシロン・デルタ論法 完全攻略』を読んでいく

しばらく書いていなかった。勉強した日もあったし、しなかった日もあった。

例2.6

やはり論理が追えていない感じ。証明を何回か模写しつつ、躓いたところを特定していこう。今のところ、下記点で躓いているように思う。

  • 論理式(2.11)の意味
  • (2.12) → (2.11)の証明の具体例がしりたい
  • (2.11) → (2.12)が論理が良くわからない
  • (2.13)もよく分からん

どうも添字の添字が出て来ると混乱しているようだ。

例2.10

忘れてしまったが、これもあまり理解できていない。まず、(解答1)の{ \lbrack \log_{10}{N(1)} \rbrack +1}が分かっていない気がする。

間違い(その1)と間違い(その2)

{\forall n \in \mathbb{N}}が数列の極限の定義に含まれている理由が書いてあった。このことは【2日目】に触れているが、理由がわかって納得した。

例題2.7

{|a_n| \lt M }だから、数列{a_n}有界よりも強い条件になっている(数列{a_n}有界とは{|a_n| \leq M}となる{M > 0}が存在すること)。

点列の収束を用いた開集合と閉集合の定義に似ているなぁと思っていたら、次の問題が閉区間閉集合)の問題だった。

問2.10

解けなかった。トライしてから日がたってしまったので、印象も忘れてしまった。 なにか具体例が欲しい。自分で考えてみよう。

問2.11

例題2.7が{|a_n| \lt M}だったのに対し、この問題は{a_n \gt M}だ。これも具体例が欲しい。

問2.12

二つの数列に対し、同じ{n}同士の項を比較している問題。これも具体例が欲しい。

例題2.8

級数の問題。高校式ならばすぐに示せるが、それを{\varepsilon N}論法でやるとどうなるか。 級数の大小の不等式が納得行かない。

問2.13

例題2.8と全く同じようにやったらOKだった。

例題2.9

{\varepsilon N}論法の定番の問題だ。案外込みいってる。挿絵の鳥(インコ?)も頭を抱えてる。この問題が他のものに比べ難しい理由が書かれていて、なるほどと思う。

とりあえずここまで。

【9日目】『イプシロン・デルタ論法 完全攻略』を読んでいく

最近は、朝の通勤時間に電車の中でこの本を読むのが日課になっていた。もちろん電車の中なので集中はできない。ざっと復習と予習をするのみだ。しかし、今日は本を忘れてきてしまい、手持ち無沙汰になってしまった。

帰宅後、気を取り直して進めていく。今日は「2.1.3 数列の極限の定義と同値な命題」から「2.1.5 数列の極限の否定命題」まで。

例2.6

まずは自分で解いてみる。書くには書けたので、解答を見ると筋はあっている。しかし、どうも明快でない。言い回しとして「{ N(\varepsilon / k) \in \mathbb{N} }が決まって」というのを覚えておこう。

ようやく{ | a_n - \alpha | \lt k \varepsilon }{|a_n - \alpha| \lt \varepsilon}の違いが分かって嬉しい。長年、わかったふりをして通り過ぎていた所だ。

例2.7

数列の極限の定義には2つの不等号がでてくる。それぞれ{\leq}{\lt}のどちらかだ。ところが、どの組み合わせをとっても数列の極限の定義としては同値になる。それを示す問題。

この本では、等号無し、等号つき、の順が採用されている。他の本ではどうなんだろうか。この本のどこかで理由も説明されていたような。後で探してみよう。

{(2.7) \iff (2.8)}は当たり前すぎてなんか変な感じ。いや当たり前なんだけど。

定義2.3

部分列の定義。また10回書いた。

例2.8

収束する数列の任意の部分列は、元の数列と同じ極限に収束する、という例題。

部分列の添字{ n_k }がややこしい。部分列は{k}でナンバリングされていることに注意。

定理2.1

ボルツァーノワイエルシュトラスの定理という有名な定理。証明がなくてホッとした。 有界だが収束しない数列でも、収束する部分列がある、というのがこの定理の面白いところなんだろうか。

例2.9

よく分かる例。

例2.6

数列の極限の否定命題。よくわからん!解答の論理が追えず。

今日はこれにて終了。

【8日目】『イプシロン・デルタ論法 完全攻略』を読んでいく

毎度のことだが、土日は度を超えた昼寝をしてしまうので、また勉強時間がとれなかった。 というか深夜にならないとやる気がでてこないんだよなぁ。 土日の昼間になんとか出来るようにがんばろう。

  • 例題2.5 不等式を適当にいじっていたら、それらしいのが出てきた。 それと{b_n}有界であることを使って自分なりの答えを書いてみた。 しかし、解答は例2.3を使っている。 例2.3の使い所というか、ポイントがイマイチわからない。

随分こういう証明には慣れてきたように思う。 1週間(実際はもっと経っているけど)続けるだけで、ある程度慣れるもんだ。 こういう成長が実感できると、勉強のモチベーションになる。 がんばりましょう。

今日は以上。

【7日目】『イプシロン・デルタ論法完全攻略』を読んでいく

暇だったがついスマホゲーをやってしまい、進まなかった。 そういえば、有界な数列の定義の模写のノルマが10回残っていた。覚えた自信があるため省略。 面倒くさがってやらないと、あとあと響いて来る気もする。。

例題2.4

少し自分で考えてみたけど、不等式をどう変形するかわからなくて、解答をチラ見する。不等式の「細工」と有界な数列の定義を使うことを頭の片隅において再度チャレンジ。それさえ解ってしまえば、後は同じパターンで解ける。問題文は{\alpha}{\beta}が対称だ。しかし解答では{\beta}が全面に出てきて対称じゃない。{\alpha}{\beta}が対称な証明はありそうだなと思っていた。

問2.8

さすがに殆ど例題2.4と同じだから、省略。

例2.4

例題2.4の別解。今度は解答でも{\alpha}{\beta}が対称になるように、不等式を変形している。例題2.4の時点で対称でないことに気がついていたため、この流れは嬉しかった。不等式の変形のみ見て、後は自分で解いてみた。自分は例題2.4と同じように、数列が有界であることを使って示した。しかし、解答ではそれは使っていない。

{ \left ( \frac{\varepsilon}{1+|\alpha|+|\beta|} \right ) ^2  \leq \frac{\varepsilon}{1+|\alpha|+|\beta|}}が上手いと思った。

注意2.2

{0 \lt \varepsilon \leq 1}として良い理由が述べられているが、よく分からない。{\varepsilon}の値にかかわらず丸4が成立しているとのこと。うーん、どういうことだろうか。丸4は{\varepsilon = 1}の時の式のような。この式に{\varepsilon}が含まれていないことを言っているのか?

MathJaxの不等号{\lt, \gt}は\lt \gtだったのか。TeXと少し違うのね。

以上。

【6日目】『イプシロン・デルタ論法完全攻略』を読んでいく

仕事から帰って自炊をしたら疲れてしまった。 また2ページも進んでいない。

  • 数列の極限の定義をあらためて書く。もう書ける。
  • 有界な数列の定義を書く。書けた。10回書くノルマを忘れていた。今日やろう。
  • 例2.3をやる。これも今ひとつピンとこない。何故ここにこの問題が配置されているのかわからない。また、三角不等式で躓いていたのがわかった。覚えておくべき三角不等式は、 {|x+y| \leq |x| + |y|}。ちょっと調べたけど、証明が案外こみ入っている。いい方法がないかな。
  • その次の問もやったのだった。例2.3とほぼ同じだから、解答は書けた。

【5日目】『イプシロン・デルタ論法完全攻略』を読んでいく

今日は問2.4からスタートして、例題2.3でおわった。

分量としては2ページに満たない。じっくりやると全然進まない。 頭の悪さというか、数学的センスの無さを実感するが、仕方がない。 数学が好きなのだから、勉強するだけのことだ。

  • 問2.4 教科書の今までの例のように、{ \eta }{ \varepsilon}を使い分けて書いてみた。しかし、あっているのかわからなかった。解答は{\varepsilon}のみを使っている。

  • 問2.5 あっさり終了。特に言うこともない。

  • 問2.6 { \displaystyle \lim _{n \to \infty} |a_n - b_n| = 0 }の意味がピンと来なかった。朝起きてから見たら、難しい事ではなかった。論理記号と数式に落としさえすれば、あとはここまでの問題と同じパターンで、証明は書けた。

  • 定義2.2 数列{a_n}有界であることの定義。また10回模写した。もう10回は明日やろう。定義にある論理式の日本語訳を書くとすれば、以下のようになるだろうか。

数列{a_n}有界であるとは、ある正の数{M}が存在し、すべての自然数{n}に対し{|a_n| \leq M}が成り立つときにいう。

  • 例題2.3 解けませんでした。「{N(\varepsilon) = 1}を満たすような{\varepsilon}を考えると〜」のような頓珍漢なことを書いてしまった。

以上。